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Das Kalenderblatt 091102

Die Google-Suche zur Frage:
Ist 0.999... = 1?
http://www.google.de/search?hl=de&q=0.999+1&btnG=Suche&meta=&aq=f
&oq=
liefert ungefähr 15.700.000 Ergebnisse für 0.999 1 in 0,37 Sekunden.

Ist 0,9 = 1? Niemand wird zustimmen. Und 0,99 oder 0,999 oder ...?
Selbstverständlich existiert zwischen jeder Folge von n Neunen und 1
die Differenz 10^-n > 0. Aber wenn man unendlich viele Neunen hat?

Darauf gibt es drei Antworten:

Die Freunde des potentiell Unendlichen behaupten, dass die Liste

1
1, 2
1, 2, 3
...

alle natürlichen Zahlen enthält, weil von jeder gesagt werden kann, in
welcher Zeile sie erstmals auftritt. Benutzt man diese Zahlen als
Indizes für die Neunen in Neunerfolgen, so erweist sich, dass jede
Neunerfolge endlich und von 1 verschieden ist.

Die Freunde des aktual Unendlichen behaupten: "Es" gibt eine niemals
endende Neunerfolge. Diese Folge kann man aber nur definitorisch
erzeugen. Aktual unendlich viele Ziffern lassen sich offenbar nicht
hinschreiben. Überdies beinhaltet die Definition (wie alles aktual
Unendliche) einen Widerspruch. Denn alle mit natürlichen Zahlen
indizierbaren Stellen sind bereits von allen endlichen Neunerfolgen
aufgebraucht worden. Der aktual unendlichen Neunerfolge bleibt nichts,
jedenfalls keine natürlich indizierte Ziffer, um sich von allen
endlichen Neunerfolgen zu unterscheiden, was jede endliche
Nerunerfolger kann. Und schon zu jeder endlichen Neunerfolge existiert
eine längere endliche Neunerfolge. Durch die Bijektion
0.999...9 <==> 123...n
wo n gleichzeitig die letzte Ziffer indiziert und die Anzahl der
Ziffern angibt, erweist sich, dass die aktual unendliche Folge außen
vor bleibt. Das hat nichts damit zu tun, dass es keine letzte
natürliche Zahl gibt. Die Bijektion erfasst alle natürlichen Zahlen
ohne Ansehen der Position.

Wie die heutige Mathematik zeigt, können viele Mathematiker mit diesem
Widerspruch umgehen, indem sie behaupten, es sei gar keiner (obwohl
Bijektionen ihnen in anderen Zusammenhängen als scharfe Beweismittel
dienen). Bei Anwendung der Freudschen Verdrängungstechnik gibt
"es" (das Freudsche "Es"?) die Ziffernfolgen für 0,999...,
sqrt(2), pi
usw. Doch die Autosuggestion endet bei den 2^aleph_0 aktual
unendlichen Ziffernfolgen, die nicht durch eine der aleph_0  endlichen
Regeln bis zu jeder Stelle definiert sind. Hier setzt der reine Glaube
ein, oder der Matheologe zweifelt, scheitert und ist für sein Fach
unbrauchbar geworden (falls er die Matheologie gewählt hatte - nicht
zu verwechseln mit Mathematik).

Aber auch die Freunde des potentiell Unendlichen müssen mit einem
Widerspruch zurechtkommen, denn die oben gezeigte Liste ist ja in
vertikaler Richtung aktual unendlich.

Um diese Probleme zu vermeiden, sollte man einfach den dritten Weg
wählen und MatheRealist werden. Es gibt weder aktual noch potentiell
unendliche ununterbrochene Ziffernketten. Man kann zwar beliebig große
natürliche Zahlen konstruieren, aber man kann keine regellose
Ziffernkette mit mehr als 10^100 Ziffern konstruieren, weil dazu die
Mittel fehlen und immer fehlen werden.

Die natürlichen Zahlen sind also potentiell unendlich in dem Sinne,
dass man zu jeder eine größere konstruieren kann, aber eine
geschlossene Folge gibt "es" nicht. Deswegen sind auch die Spalten in
der obigen Liste nicht aktual unendlich - und alle Widersprüche
verschwinden wie Schnee im August. Unter diesem Aspekt ist 0,999...
lediglich eine etwas umständliche Schreibweise für 1.

Ich danke Carsten Schultz für die Anregung zu diesem Kalenderblatt.

Gruß, WM

Antworten