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Das Kalenderblatt 091108

Warum hielt Wittgenstein nichts von Gödels Unvollständigkeitssatz?
Wir sind auf Vermutungen angewiesen, jedoch sind dies begründete
Vermutungen. Denn nach allem, was wir über Wittgenstein wissen (vgl.
z. B. KB091002 , KB091014), hielt er nichts von der aktualen
Unendlichkeit der Menge, die Gödel als selbstverständlich voraussetzt:
"Die {{will sagen: alle}} Klassenzeichen denken wir uns irgendwie in
eine Folge geordnet, bezeichnen das n-te mit R(n) und bemerken, daß
sich der Begriff 'Klassenzeichen' sowie die ordnende Relation R im
System PM definieren lassen. [p. 175]
Ohne diese aktuale Unendlichkeit schlägt der Beweis aber fehl, denn es
gibt keine Menge aller beweisbaren Aussagen und damit auch keine
vollständige Nummerierung dieser Aussagen. Eine Aussage über alle
Gödelnummern ist notwendig falsch. Dies ist eine simple Tatsache, die
nichts mit der weltanschaulichen oder axiomatischen Forderung nach der
Existenz des Unendlichen zu tun hat.  Im Lichte dieser Erkenntnis
bietet Gödels "Beweis" nicht mehr als die platte Behauptung "dieser
Satz ist nicht beweisbar" (denn wäre er es, so wäre er falsch) und ist
nicht besonders aufregend. Aussagen wie "die Vorderseite ist die
Rückseite" existieren seit 2500 Jahren, und Hilbert kannte sie
bereits, bevor er sein Programm konzipierte. Gödel stellt dies auch
selbst fest: "Die Analogie dieses Schlusses mit der Antinomie Richard
springt in die Augen; auch mit dem 'Lügner' besteht eine nahe
Verwandtschaft, denn der unentscheidbare Satz [R(q); q] besagt ja, daß
q zu K gehört, d.h. nach (1), daß [R(q); q] nicht beweisbar ist." [p.
175]
Zu jedem [R(q); q] kann ein weiterer Satz konstruiert werden, der [R
(q); q] entscheidet oder feststellt, dass es sich dabei nicht um
Mathematik handelt; dazu bedarf es keines "erweiterten Systems" - denn
kein System schöpft alle n aus |N vollständig aus. Diese Erkenntnis
ist übrigens nicht neu.
"Der wahre Grund für die Unvollständigkeit, welche allen formalen
Systemen der Mathematik anhaftet, liegt, wie im lI. Teil dieser
Abhandlung gezeigt werden wird {{der ist niemals erschienen}}, darin,
daß die Bildung immer höherer Typen sich ins Transfinite fortsetzen
läßt [...] während in jedem formalen System höchstens abzählbar
v
iele
vorhanden sind. Man kann nämlich zeigen, daß die hier aufgestellten
unentscheidbaren Sätze durch Adjunktion passender höherer Typen (z. B.
des Typus omega zum System P) immer entscheidbar werden. Analoges gilt
auch für das Axiomensystem der Mengenlehre." [p. 191]
[Kurt Gödel: "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia
Mathematica und verwandter Systeme I", Monatshefte für Mathematik und
Physik 38 (1931) S.173–198.]

Essenz aus Gödels Erkenntnis: Die formalen Systeme können mit den wild
wuchernden Typen nicht mithalten. Neben einer Erweiterung der ersteren
käme da also auch eine Beschränkung der letzteren auf ein
vernunftgemäßes Maß in Betracht. Leider haben sich viele Mathematiker
so ins Netz des Transfiniten verstrickt (wenn auch die meisten nur als
Mitläufer), dass sie es eher vorziehen, die Mathematik schmachvoll
geschändet und verleumdet zu sehen, als die einzig richtige Konsequenz
zu ziehen und die Ursache all der unmathematischen Wahnvorstellungen,
mit denen sie gegenwärtig durchseucht ist, auf der Müllkippe der
Geschichte zu entsorgen.

Gruß, WM

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