Das Kalenderblatt 091031

Das System Taw aller Alefs bildet in ihrer Größenordnung eine dem
System Omega ähnliche und daher ebenfalls inkonsistente absolut
unendliche Folge.
Es erhebt sich nun die Frage, ob in diesem System Taw alle
transfiniten Kardinalzahlen enthalten sind. Gibt es, mit anderen
Worten, eine Menge, deren Mächtigkeit kein Alef ist?
Diese Frage ist zu verneinen und der Grund dafür liegt in der von uns
erkannten Inkonsistenz der Systeme Omega und Taw. [...]
Das System Omega aller Alefs ist nichts anderes als das System aller
transfiniten Kardinalzahlen.
Alle Mengen sind daher in einem erweiterten Sinne "abzählbar", im
besonderen alle "Kontinua".
[Cantor an Dedekind, 28. 7. 1899, abgedruckt in E. Zermelo: "Georg
Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen
Inhalts", Springer (1932), p. 447]

Zermelo merkt hierzu auf S. 451 an: Augenscheinlich denkt sich Cantor
den Zahlen von Omega sukzessive und willkürlich Elemente von V
zugeordnet in der Weise, daß jedes Element von V nur einmal zur
Verwendung kommt. Dieses Verfahren müßte entweder einmal zum
Abschlusse kommen [...] Hier wird also die Zeitanschauung angewendet
auf einen über alle Anschauung hinausgehenden Prozeß und ein Wesen
fingiert, daß sukzessive willkürliche Auswahlen treffen könne und
dadurch eine Teilmenge V´ von V definieren, die durch die gestellten
Bedingungen eben nicht definierbar ist. Erst durch Anwendung des
"Auswahl-Axioms", das die Möglichkeit einer simultanen Auswahl
{{simultan bedeutet gleichzeitig - ohne Zeitanschauung bedeutet es
nichts}} postuliert [...] Bedenken dieser Art haben denn auch wenige
Jahre später den Herausgeber bestimmt, seinen eigenen Beweis des
Wohlordnungssatzes (Math. Ann. 59, S. 514; 1904) rein auf das
Auswahlaxiom ohne Verwendung inkonsistenter Vielheiten zu begründen.
{{Aber mit Verwendung des Aufwärtszählens und vor allem mit Verwendung
der Komplementärmenge und also des Abwärtszählens. Zermelos Beweis is
t
zweifelhaft - ebenso wie seine Edition der Cantor-Briefe:}}

The final section of the correspondence with Cantor starts only in
July 1899. This was the part from which extracts were published in the
edition of Cantor's papers by Zermelo using the transcriptions made by
Cavaillès.
The standard of editing of the extracts is bad.[...]
The collection begins with a letter from Cantor of 28 July 1899. lt is
the most famous of them all [...]  lt is often cited in the literature
on the foundations of mathematics {{like here in the Kalenderblatt}},
and was translated into English in [J. van Heijenoort: "From Frege to
Gödel ..." (1967, Cambridge, Mass.) 113-117.]
There does not exist a letter in this form.
[I. Grattan-Guinness: "The Rediscovery of the Cantor-Dedekind
Correspondence", Jahresbericht DMV 76 (1974) p. 126f.]

Gruß, WM
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