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Pythagoräische und andere Tripel

Hallo Mathefreunde,

ich habe mich in den vergangenen Wochen aus Spaß ab und zu ein
bisschen
mit der (ehemaligen) "Fermatschen Vermutung" beschäftigt und versucht,
ein paar kleine Teilergebnisse elementar herzuleiten.

Das einfachste Beispiel ist wahrscheinlich die Gültigkeit der
Behauptung
für den Exponenten n = 4.
Der Beweis dafür beruht stark auf der wohlbekannten Klassifikation der
pythagoräischen Tripel, die man z.B. folgendermaßen formulieren kann:

Seien a, b, c natürliche Zahlen mit a^2 + b^2 = c^2. Dann gilt
einer der folgenden Fälle:

(1) (a, b, c) > 1
(2) Es existieren teilerfremde natürliche Zahlen x und y mit
{a, b} = {x^2 - y^2, 2xy} und c = x^2 + y^2

Ausgehend von dieser Klassifikation habe ich mich gefragt, ob man
analog feststellen kann, wann die Summe zweier Quadrate ein Kubus ist.

Durch ein bisschen Rechnerei und Probiererei bin ich dabei zu der
folgenden Vermutung gekommen:

Seien a, b, c natürliche Zahlen mit a^2 + b^2 = c^3. Dann gilt
einer der folgenden Fälle:

(1) Es existiert eine natürliche Zahl t > 1 mit
t^6 | (a^2, b^2, c^3)
(2) Es existieren natürliche Zahlen r, s mit
{a, b} = {r^3 + rs^2, s^3 + r^2s} und c = r^2 + s^2
(3) Es existieren teilerfremde natürliche Zahlen u, v mit
{a, b} = {|u^3 - 3uv^2|, |v^3 - 3u^2v|} und c = u^2 + v^2

Leider habe ich es bislang nicht geschafft, diese Vermutung auch zu
beweisen. Sollte sie zutreffen, ist sie ja bestimmt auch schon
bekannt;
allerdings habe ich im Internet auch nichts dazu gefunden (ich wüsste
aber auch gar nicht, worunter ich am günstigsten suchen könnte).

Aber hier gibt es ja bestimmt hinreichend viele Zahlentheoretiker!
Also: Kennt jemand einen Beweis (oder gerne auch ein Gegenbeispiel)
für die obige Vermutung?

Herzliche Grüße,
Jens

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