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Das Kalenderblatt 091027

Betrachten wir die Basis-2-Entwicklung einer natürlichen Zahl
13 = 2^3 + 2^2 + 2^0 = 2^3 + 2^2 + 1
und drücken die Exponenten > 2 ebenfalls in der Basis 2 aus
3 = 2^1 + 1 = 2 + 1
so erhalten wir die reine Darstellung zur Basis 2:
13 = 2^(2 + 1) + 2^2 + 1
Die Darstellung zur Basis 3 würde so aussehen:
13 = 3^2 + 3 + 1
und wäre bereits rein.

Die Goodsteinfolge G(n) = n, n', n'', ... einer natürlichen Zahl n
ergibt sich, wenn man in ihrer reinen Basis-2-Darstellung überall 2
durch 3 ersetzt und die so sich ergebende Zahl n' um 1 vermindert,
sodann in der reinen Basis-3-Darstellung überall 3 durch 4 ersetzt und
die so sich ergebende Zahl n'' um 1 vermindert usw.
Beispiel 1: Das erste Glied der Folge G(2)
n = 2 = 2^1
liefert das zweite Glied
n' = 3^1 - 1 = 2
und das dritte Glied
n'' = 2 - 1 = 1
denn die Basis 3, die in n'' durch 4 ersetzt würde, ist in n' nicht
vorhanden. Im nächsten Schritt wird die Null erreicht, womit die Folge
per Definition endet. Diese Goodsteinfolge ist also
G(2) = 2, 2, 1, 0
Beispiel 2: Das erste Glied der Folge G(13)
n = 13 =  2^(2 + 1) + 2^2 + 1
liefert das zweite Glied
n' = 3^(3 + 1) + 3^3 + 1 - 1
= 3^(3 + 1) + 3^3 = 108
Im nächsten Schritt wird die rechte Potenz angeknabbert:
n'' =  4^(4 + 1) + 4^4 - 1
=  4^(4 + 1) + 3*4^3 + 3*4^2+ 3*4 + 3 = 1279
Nach drei weiteren Schritten ist die 3 verbraucht und im vierten es
geht dem vorletzten Term an den Kragen, dann also 3*8 = 2*8 + 7.
Große n führen offenbar zu rasant ansteigende Folgen. Trotzdem sagt
der Satz von Goodstein dass jede Folge G(n) nach endlich vielen
Schritten bei 0 endet (denn wenn die Basis größer geworden ist als die
Zahl, gibt es nichts mehr zu ersetzen und die wiederholte Subtraktion
von 1 zieht die Folge auf 0.)
Zum "Beweis" ersetzt man die Basis sogleich durch omega (w).
2^(2 + 1) + 2^2 + 1
wird damit zu
a = w^(w + 1) + w^w + 1
Die nächsten Folgenglieder besitzen also dieselbe Basis w, werden
jedoch in jedem Schritt um 1 kleiner:
a' = w^(w + 1) + w^w
a'' = w^(w + 1) + w^w - 1 = ?
w^w - 1 erzwingt nun die Verminderung von w^w um 1. Wie das? Und wie
geht das? Wenn man von Unendlich 1 abzieht, hat man doch immer noch
unendlich!?
(Fortsetzung folgt.)
[R. Goodstein: "On the restricted ordinal theorem", Journal of
Symbolic Logic, 9 (1944) 33-41]
http://curvebank.calstatela.edu/goodstein/goodstein.htm
http://en.wikipedia.org/wiki/Goodstein%27s_theorem

Gruß, WM

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