• Als Spam markieren
• Beitrag melden

• 
  Diese Gruppe Alles

• Archiv
• RSS-Feeds

• Kontakt
• Hilfe
• Impressum
• Datenschutz

Das Kalenderblatt 091028

Goodsteinfolgen (Ende): Der Konvergenz"beweis".

a'' = w^(w^1 + 1) + w^w - 1
w^w - 1 erzwingt nun die Verminderung von w^w um 1. Wie geht das? Wenn
man von Unendlich 1 abzieht, hat man doch immer noch unendlich!?

Dazu sagt die Mengenlehre:

Diese Überlegung enthält einen Denkfehler: Wir ziehen nicht jedesmal
Eins ab! Das tun wir nämlich nur, wenn die Ordinalzahl einen Vorgänger
hat, also eine um Eins kleinere Ordinalzahl. Sobald wir aber bei einer
Grenz-Ordinalzahl wie beispielsweise w ankommen, gibt es keinen
Vorgänger. Die nächstkleinere Ordinalzahl wird einfach eine der
unendlich vielen Ordinalzahlen sein, die kleiner als die Grenzzahl
sind. Von dieser Zahl aus können wir dann wieder herunterzählen, bis
die nächste Grenzzahl in endlich vielen Schritten erreicht ist und der
nächste Sprung nach unten bevorsteht.

Es ist schon etwas verwirrend: Zählt man von unten nach oben, so kann
man unendlich lange zählen, ohne die nächste Grenzzahl zu erreichen,
denn man findet immer einen Nachfolger, der kleiner als die nächste
Grenzzahl ist. Hat man dagegen eine absteigende Folge von
Ordinalzahlen, so muss man bei jeder Grenzzahl einen Sprung nach unten
machen, denn einen direkten Vorgänger gibt es nicht. [...] Allgemein
gilt: Jede strikt absteigende Folge von Ordinalzahlen erreicht nach
endlich vielen Schritten ihr kleinstes Folgenelement und bricht dann
ab. [...] Wenn man sich die Beweismethode auf diese Weise
veranschaulicht, so scheint sie vollkommen natürlich zu sein.

[Jörg Resak: "Die Grenzen der Berechenbarkeit, Kapitel 4, Die
Fundamente der Mathematik 6, Goodsteinfolgen, Ordinalzahlen und
transfinite Induktion", (2008)]
http://www.joergresag.privat.t-online.de/mybk3htm/chap46.htm

{{Das ist der Clou: Aufwärts zählen erfordert unendlich viele Schritte
(und noch viel mehr), abwärts geht's von jedem Punkt in endlich vielen
Schritten. Ein Beweis für die alte Pilotenweisheit: Runter kommen sie
immer. Hier der Verbraucher-Tipp der Woche: Leihen Sie sich omega
Euros. Bei der Rückzahlung springen Sie dann gleich auf 1. Wieder eine
schöne und volkswirtschaftlich wertvolle Anwendung der Mengenlehre.
Doch Spaß beiseite: Wenn jede wohlgeordnete Menge, ohne eine für den
Goodstein-Beweis und auch sonst signifikante Lücke sich von oben so
herunterzählen lässt, dann ist der Beweis dafür erbracht, dass jede
wohlgeordnete Menge nur endlich viele signifikante Elemente enthält.
Und da jede Menge wohlgeordnet werden kann ... Aber wir wollten ja
ernst bleiben!}}

Gruß, WM

Antworten