Das Kalenderblatt 091028.

Goodsteinfolgen (Ende): Der Konvergenz"beweis".

w^w - 1 erzwingt nun die Verminderung von w^w um 1. Wie geht das? Wenn
man von unendlich 1 abzieht, hat man doch immer noch unendlich? Es
geht gar nicht, ist hier aber auch nicht erforderlich.

Es wird jeweils  zu einem Folgenglied wie
n = 2^(2 + 1) + 2^2 + 1
ein Ausdruck mit der durch w ersetzten Basis gebildet
t = w^(w + 1) + w^w + 1
Dann wird die Basis um 1 erhöht und die Subtraktion von 1
durchgeführt, hier
n' = 3^(3 + 1) + 3^3
und abermals ein Ausdruck mit der durch w ersetzten Basis
t' = w^(w + 1) + w^w
gebildet usw:
n'' = 4^(4 + 1) + 3*4^3 + 3*4^2 + 3*4 + 3
t'' = w^(w + 1) + 3*w^3 + 3*w^2 + 3*w + 3
...

Die Folge (t) = t, t', t'', ... der transfiniten Ordinalzahlen ist
streng monoton fallend, da die Basis w immer dieselbe bleibt und
lediglich die Subtraktionen erfolgen. Die Goodsteinfolge (n) = n, n',
n'', ...  ist eine Minorante von (t). Wenn (t) nach endlich vielen
Schritten bei 0 endet, so muss auch (n) nach endlich vielen Schritten
bei 0 enden. Endet aber jede streng monoton fallende Folge
transfiniter Ordinalzahlen nach endlich vielen Schritten?

Dazu sagt die Mengenlehre:

Es ist schon etwas verwirrend: Zählt man von unten nach oben, so kann
man unendlich lange zählen, ohne die nächste Grenzzahl zu erreichen,
denn man findet immer einen Nachfolger, der kleiner als die nächste
Grenzzahl ist. Hat man dagegen eine absteigende Folge von
Ordinalzahlen, so muss man bei jeder Grenzzahl einen Sprung nach unten
machen, denn einen direkten Vorgänger gibt es nicht. [...] Allgemein
gilt: Jede strikt absteigende Folge von Ordinalzahlen erreicht nach
endlich vielen Schritten ihr kleinstes Folgenelement und bricht dann
ab. [...] Wenn man sich die Beweismethode auf diese Weise
veranschaulicht, so scheint sie vollkommen natürlich zu sein.
[Jörg Resak: "Die Grenzen der Berechenbarkeit, Kapitel 4, Die
Fundamente der Mathematik 6, Goodsteinfolgen, Ordinalzahlen und
transfinite Induktion", (2008)]
http://www.joergresag.privat.t-online.de/mybk3htm/chap46.htm

{{Das ist der Clou: Aufwärts zählen erfordert unendlich viele Schritte
(und noch viel mehr), abwärts geht's von jedem Punkt in endlich vielen
Schritten. Ein Beweis für die alte Pilotenweisheit: Runter kommen sie
immer. Hier der Verbraucher-Tipp der Woche: Leihen Sie sich omega
Euros. Die Rückzahlung schaffen Sie sogar, wenn Sie aus dem
Niedriglohnsektor kommen, denn mit jeder beliebigen absteigenden Folge
machen Sie noch ein Geschäft. Wieder eine schöne und
volkswirtschaftlich wertvolle Anwendung der Mengenlehre.

Ist wirklich alles da, was der Mengenlehrer beim Aufstieg zu erkennen
wähnt?}}

Gruß, WM
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