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Beweis gesucht

Hallo Mathematiker,

ich habe folgendes Problem:

Gesucht ist lim(n->infinity) (Gamma((n+1)/2)/Gamma(n/2))^(1/n)

mit der Gamma-Funktion Gamma(n). Ich habe mir folgendes überlegt, wobei
ich ausnutze, dass n >> 3 und deswegen Gamma(n) monoton steigend ist:

I: Gamma((n+1)/2)/Gamma(n/2) > Gamma((n)/2)/Gamma(n/2) = 1
II: Gamma((n+1)/2)/Gamma(n/2) < Gamma((n+2)/2)/Gamma(n/2)
= n/2!/(n/2-1)! = n/2

Somit gilt: 1 < Gamma((n+1)/2)/Gamma(n/2) < n/2
Mit

III: lim(n->infinity) n^(1/n) = 1

gilt, dass auch

lim(n->infinity) (Gamma((n+1)/2)/Gamma(n/2))^(1/n) = 1.

Ist das so nachvollziehbar oder übersehe ich irgendwas? Ich bin ja nur
Ingenieur.. Für III habe ich auch keinen Grenzwertsatz gefunden.

Vielen Dank für Kommentare vorab und viele Grüße,

Hauke

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